Pergunta: determinar a solução u(x,t) usando o método de separação de variáveis e justificando todas as etapas. Informações relevantes listadas:
É a equação da onda unidimensional com velocidade c=1: u_{tt}=u_{xx}.
Domínio espacial: 0<x<2 com condições de contorno de Dirichlet homogêneas u(0,t)=u(2,t)=0.
Condições iniciais: deslocamento inicial u(x,0)=0 e velocidade inicial u_t(x,0)=\operatorname{sen}(\pi x)+\operatorname{sen}(3\pi x).
A partir daqui vamos aplicar separação de variáveis, encontrar autovalores e autofunções, impor as condições iniciais e obter a série (aqui a série será finita porque a condição inicial já é soma de modos).
Passo 2
Assumimos solução pelo método de separação de variáveis: proponho
u(x,t)=X(x)\,T(t),
onde X depende só de x e T só de t. Substituindo na PDE u_{tt}=u_{xx} obtemos
X(x)T''(t)=X''(x)T(t).
Dividindo por X(x)T(t) (assumindo não nulo) obtém-se a separação:
Escolhemos o sinal negativo -\lambda por conveniência (isso facilita obter soluções oscilatórias no tempo); depois justificamos que \lambda>0 é a única opção que dá soluções não-triviais que satisfazem as condições de contorno.
Se \lambda=0, então X''=0 e X(x)=ax+b. Impor X(0)=0 e X(2)=0 dá b=0 e 2a+b=0\Rightarrow a=0. Só a solução trivial X\equiv0 — descartamos.
Se \lambda<0, escreva \lambda=-\mu com \mu>0. Então X''-\mu X=0 tem soluções exponenciais X=Ae^{\sqrt{\mu}x}+Be^{-\sqrt{\mu}x}. Impondo X(0)=0 e X(2)=0 leva às constantes triviais A=B=0. Novamente apenas solução trivial — descartamos.
Logo a única possibilidade para termos soluções espaciais não-triviais é \lambda>0. Escrevemos \lambda=\kappa^2 com \kappa>0 e resolvemos
X''+\kappa^2 X=0.]
Passo 4
Solução geral de X''+\kappa^2 X=0 é
X(x)=C\cos(\kappa x)+D\sin(\kappa x).
Impondo X(0)=0 dá C=0. Então X(x)=D\sin(\kappa x). Impor X(2)=0 exige
Agora avaliamos explicitamente os coeficientes usando que f(x)=\operatorname{sen}(\pi x)+\operatorname{sen}(3\pi x)\). Observação: as funções \(\operatorname{sen}(\pi x)\) e \(\operatorname{sen}(3\pi x)\) já são autofunções da base encontrada; para ver qual \(n\) corresponde, note que
\[\operatorname{sen}(\pi x)=\sin\!\left(\frac{2\pi x}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\text{ com }n=2,
\operatorname{sen}(3\pi x)=\sin\!\left(\frac{6\pi x}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\text{ com }n=6.
Logo, na expansão de f em autofunções, os coeficientes são 1 apenas para n=2 e n=6, e 0 para os demais n. Podemos confirmar integrando:
Pronto — essa expressão satisfaz a PDE, as condições de contorno e as condições iniciais dadas. (Dica amiga: se quiser checar rapidamente, veja que em t=0 dá u=0 e u_t(x,0)=\frac{1}{\pi}\pi\operatorname{sen}(\pi x)+\frac{1}{3\pi}3\pi\operatorname{sen}(3\pi x)=\operatorname{sen}(\pi x)+\operatorname{sen}(3\pi x).)