Em cada item abaixo, resolva o sistema linear usando matriz inversa.
\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}-2 x_{2}=-1 \\\\ 4 x_{1}+5 x_{2}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear e pede encontrar x_{1}\) e \(x_{2}\): \[\begin{cases} 3x_{1}-2x_{2}=-1\\[4pt] 4x_{1}+5x_{2}=3 \end{cases}
Informações relevantes dadas: os coeficientes das incógnitas e os termos independentes estão explícitos nas duas equações. O que queremos ao final é os valores de x_{1}\] e \(x_{2}.]

Passo 2

Escrever o sistema na forma matricial \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}\;, explicando cada peça.
A=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}
Aqui A é a matriz dos coeficientes (cada linha corresponde a uma equação e cada coluna a uma incógnita), \mathbf{x} é o vetor incógnita que queremos determinar, e \mathbf{b} é o vetor dos termos à direita das equações.]

Passo 3

Explicar o conceito e a fórmula da inversa para matrizes 2\times2.
Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}
o determinante é \det = ad-bc. A inversa (quando existe) é dada pela fórmula
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Explicação das partes: ad-bc mede se a matriz é invertível; se ad-bc\neq 0 então a inversa existe. A matriz resultante é construída trocando a e d, mudando sinais de b e c e multiplicando por 1/\det.]

Passo 4

Calcular o determinante da nossa matriz A.
Aqui a=3, b=-2, c=4, d=5. Então
\det(A)=ad-bc=3\cdot 5 - (-2)\cdot 4 = 15 - (-8) = 15+8 = 23.
Como \det(A)=23\neq 0, a inversa de A existe.

Passo 5

Aplicar a fórmula da inversa ao caso concreto e calcular A^{-1}.
Substituindo a,b,c,d na fórmula:
A^{-1}=\frac{1}{23}\begin{pmatrix}5 & -(-2)\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix} =\frac{1}{23}\begin{pmatrix}5 & 2\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}.
Expliquei: trocamos a e d (virou 5 e 3), e os b e c mudaram de sinal (o b=-2 virou -b=2; o c=4 virou -c=-4), e multiplicamos tudo por 1/\det=1/23.]

Passo 6

Resolver \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} fazendo a multiplicação passo a passo.
Primeiro calcule o produto matricial \begin{pmatrix}5 & 2\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}:
  • Primeira linha: 5\cdot(-1)+2\cdot 3 = -5+6 = 1.
  • Segunda linha: -4\cdot(-1)+3\cdot 3 = 4+9 = 13.
Portanto
\begin{pmatrix}5 & 2\\[4pt]-4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]13\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos por 1/23:
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\frac{1}{23}\begin{pmatrix}1\\[4pt]13\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{23}\\[8pt]\dfrac{13}{23}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida por substituição nas equações originais (confirmação).
Substituir x_{1}=\dfrac{1}{23} e x_{2}=\dfrac{13}{23}:
Primeira equação: 3x_{1}-2x_{2}=3\cdot\dfrac{1}{23}-2\cdot\dfrac{13}{23}=\dfrac{3-26}{23}=\dfrac{-23}{23}=-1. OK.
Segunda equação: 4x_{1}+5x_{2}=4\cdot\dfrac{1}{23}+5\cdot\dfrac{13}{23}=\dfrac{4+65}{23}=\dfrac{69}{23}=3. OK.
As duas igualdades conferem com o vetor \mathbf{b}, logo a solução está correta.

Resposta

x_{1}=\dfrac{1}{23}\
x_{2}=\dfrac{13}{23}

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