Em cada item abaixo, resolva o sistema linear usando matriz inversa.
\left\{\begin{array}{l}6 x_{1}+x_{2}=0 \\\\ 4 x_{1}-3 x_{2}=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando matriz inversa. As equações dadas são:
\begin{cases} 6x_{1}+x_{2}=0\\[4pt] 4x_{1}-3x_{2}=-2 \end{cases}
Informações relevantes que temos: os coeficientes das incógnitas e os termos independentes estão explicitamente fornecidos nas duas equações acima. A tarefa é encontrar \,x_{1} e \,x_{2} usando a técnica da matriz inversa.]

Passo 2

Primeiro passo concreto: escrevemos o sistema na forma matricial \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}, onde \,A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x} é o vetor das incógnitas e \mathbf{b} é o vetor dos termos independentes. Aqui:
A=\begin{pmatrix}6 & 1\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Explicando: cada linha de A contém os coeficientes das incógnitas na respectiva equação; \mathbf{x} agrupa as incógnitas; \mathbf{b} contém os lados direitos.]

Passo 3

Método da matriz inversa (aula rápida): se A for invertível (ou seja, tiver inversa A^{-1}), então a solução do sistema é
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
Para matrizes 2\times2 existe uma fórmula direta para a inversa. Para
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(A)=ad-bc. Se \det(A)\neq 0, então
A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui cada símbolo representa: a,b,c,d são os coeficientes da matriz A; o determinante mede se A é invertível; a matriz dentro do parêntese é a adjunta (troca a com d e muda de sinal b e c).]

Passo 4

Calculemos o determinante de A. Usando a=6, b=1, c=4, d=-3:
\det(A)=ad-bc=6\cdot(-3)-1\cdot4=-18-4=-22.
Como \det(A)=-22\neq 0, a matriz é invertível e podemos usar a fórmula.

Passo 5

Aplicando a fórmula da inversa para A:
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix} =\dfrac{1}{-22}\begin{pmatrix}-3 & -1\\[4pt]-4 & 6\end{pmatrix}.
Agora simplificamos cada entrada dividindo por -22:
A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{22} & \dfrac{1}{22}\\[8pt]\dfrac{2}{11} & -\dfrac{3}{11}\end{pmatrix}.
Observação rápida de contas: \dfrac{-3}{-22}=\dfrac{3}{22}, \dfrac{-1}{-22}=\dfrac{1}{22}, \dfrac{-4}{-22}=\dfrac{2}{11}, \dfrac{6}{-22}=-\dfrac{3}{11}.]

Passo 6

Agora calculamos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Multiplicando a matriz A^{-1} pelo vetor \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}:
\mathbf{x}= \begin{pmatrix}\dfrac{3}{22} & \dfrac{1}{22}\\[8pt]\dfrac{2}{11} & -\dfrac{3}{11}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Fazendo as multiplicações linha a coluna, entrada a entrada:
x_{1}=\dfrac{3}{22}\cdot 0+\dfrac{1}{22}\cdot(-2)=0-\dfrac{2}{22}=-\dfrac{1}{11},
x_{2}=\dfrac{2}{11}\cdot 0+\Big(-\dfrac{3}{11}\Big)\cdot(-2)=0+\dfrac{6}{11}=\dfrac{6}{11}.
Então obtemos \,x_{1}=-\dfrac{1}{11} e \,x_{2}=\dfrac{6}{11}.]

Passo 7

Verificação (sempre bom checar na prova): substituímos na primeira equação \,6x_{1}+x_{2}:
6\Big(-\dfrac{1}{11}\Big)+\dfrac{6}{11}=-\dfrac{6}{11}+\dfrac{6}{11}=0,
confere. Na segunda equação 4x_{1}-3x_{2}:
4\Big(-\dfrac{1}{11}\Big)-3\Big(\dfrac{6}{11}\Big)=-\dfrac{4}{11}-\dfrac{18}{11}=-\dfrac{22}{11}=-2,
confere também. Tudo certo!

Resposta

x_{1}=-\dfrac{1}{11}
x_{2}=\dfrac{6}{11}

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