Considerando a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{(2 n+1)!}. Determine a alternativa correta:
Escolha uma opção:
Convergente pelo Teste da Integral, já que a integral \int_{1}^{\infty} \frac{(x+1)!}{(2 x+1)!} d x converge para um valor próximo de 0.388 .
Convergente condicionalmente pelo Teste da Série Alternada, já que os termos alternam em sinal e decrescem monotonicamente para zero, com soma aproximada de 0.450 .
Nenhuma das demais alternativas
Divergente pelo Teste da Divergência, pois o limite do termo geral tende a um valor diferente de zero.
Divergente pelo Teste da Comparação com a série exponencial \sum e^{-n}, uma vez que
\frac{(n+1)!}{(2 n+1)!} \geq e^{-n} \quad para n suficientemente grande.
Convergente pelo Teste da Raiz, pois \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{2}<1.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{(2n+1)!}
entre as opções dadas. O conteúdo principal é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar sobretudo o teste da razão (ou raiz) para decidir se ela converge absolutamente.

Passo 2

Primeiro, conferimos se o termo geral
a_n = \frac{(n+1)!}{(2n+1)!}
tende a zero, condição necessária para convergência. Usando crescimento de fatoriais, fica claro que \lim_{n\to\infty}a_n=0, pois o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão. Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\displaystyle\frac{(n+2)!}{(2n+3)!}}{\displaystyle\frac{(n+1)!}{(2n+1)!}} =\frac{(n+2)!}{(n+1)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!} =\frac{n+2}{(2n+3)(2n+2)}.

Passo 4

Para n grande,
\frac{n+2}{(2n+3)(2n+2)}\sim\frac{n}{4n^2}=\frac1{4n}\to0<1.
Isso garante que a série converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 5

Nenhuma das alternativas apresentadas descreve corretamente que a série converge absolutamente por teste da razão (as outras afirmam divergência, convergência condicional ou resultados numéricos sem base).

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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