Em cada item abaixo, simplifique as frações algébricas e encontre os graus do A(x) e do B(x).
\frac{x+2}{x+1} \cdot \frac{x+1}{3}=\frac{A(x)}{B(x)}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{x+2}{x+1}\cdot\frac{x+1}{3}=\frac{A(x)}{B(x)}
e pede duas coisas: (i) simplificar a fração algébrica à direita, ou seja encontrar a forma reduzida de \dfrac{A(x)}{B(x)}; (ii) determinar os graus de A(x) e de B(x). As informações relevantes são os polinômios \(x+2), \(x+1) e a constante \(3).

Passo 2

O que significa “simplificar uma fração algébrica”? Significa escrever o quociente de dois polinômios da forma mais simples possível, cancelando fatores comuns entre numerador e denominador quando for permitido. Regras importantes para cancelar:
  • Só podemos cancelar um fator comum se ele for um fator multiplicativo inteiro dos dois lados (por exemplo, (x+1) em numerador e denominador).
  • Não podemos “apagar” um fator sem observar que, se esse fator for zero para algum x, a expressão original fica indefinida nesses pontos. Então sempre lembramos a restrição de domínio resultante da simplificação.
O que é o grau de um polinômio? É o maior expoente de x com coeficiente não nulo. Exemplos rápidos:
  • O polinômio \(x+2) tem grau \(1) porque o maior expoente é \(1).
  • A constante não nula \(3) tem grau \(0).

Passo 3

Vamos aplicar a regra de multiplicação de frações: multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si. Assim
\frac{x+2}{x+1}\cdot\frac{x+1}{3}=\frac{(x+2)(x+1)}{(x+1)\cdot 3}.

Passo 4

Agora observamos um fator comum (x+1) no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator desde que deixemos claro a restrição x\neq -1 (porque se x=-1 o fator (x+1) seria zero e a expressão original não está definida). Cancelando (x+1) obtemos
\frac{(x+2)(x+1)}{(x+1)\cdot 3}=\frac{x+2}{3},\qquad x\neq -1.

Passo 5

Identificamos A(x) e B(x) na forma simplificada:
A(x)=x+2,\qquad B(x)=3.
Agora calculamos os graus:
  • O grau de A(x)=x+2 é \(1), porque o termo de maior potência é x (expoente \(1)).
  • O grau de B(x)=3 é \(0), porque é uma constante não nula.

Resposta

\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}=\frac{x+2}{3} para \,x\neq -1\.
\deg A(x)=1
\deg B(x)=0

Exercícios relacionados