Para cada item abaixo, use o Teorema Fundamental do Cálculo visto em sala para calcular as integrais abaixo. Diga, quando possível, se o valor encontrado é ou nâo a área sob o gráfico da função.
integral0^1 sen(x)+cos (x)-e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de sin(x)+cos(x)-e^x usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A matéria é integrais definidas e vamos precisar dos antiderivados de sin(x), cos(x) e e^x.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada, aplicamos as fórmulas básicas:
integral sin(x),dx = -cos(x),
integral cos(x),dx = sin(x)
e
integral e^x,dx = e^x.
Logo, uma primitiva de f(x)=sin(x)+cos(x)-e^x é
F(x) = -cos(x) + sin(x) - e^x

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo manda avaliar F(1)-F(0). Temos:
F(1) = -cos(1) + sin(1) - e,
F(0) = -cos(0) + sin(0) - e^0 = -1 + 0 - 1 = -2
Então
integral0^1 (sin(x)+cos(x)-e^x),dx = F(1) - F(0) = (-cos(1)+sin(1)-e) - (-2) = -cos(1)+sin(1)-e+2

Passo 4

Para ver se isso é a área sob o gráfico, note que f(x)=sin(x)+cos(x)-e^x fica não-positiva em (0,1], gerando um valor de integral negativo (aprox. -0,42). Como a área sob o gráfico é sempre posit iva, aqui temos a área orientada (com sinal), não a área geométrica positiva.

Resposta

-cos(1)+sin(1)-e+2, e esse valor não representa a área sob o gráfico (é a área orientada, negativa).

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