Para cada item abaixo, use o Teorema Fundamental do Cálculo visto em sala para calcular as integrais abaixo. Diga, quando possível, se o valor encontrado é ou nâo a área sob o gráfico da função.
integral-1^1 x^2-3 x^4+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral-1^1(x^2 - 3x^4 + 1),dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar encontrar uma antiderivada de f(x)=x^2-3x^4+1 e depois aplicar integrala^b f(x),dx = F(b)-F(a).

Passo 2

Para obter a antiderivada F(x) de f(x)=x^2-3x^4+1, calculamos cada termo separadamente:
integral x^2,dx = tfracx^33, integral (-3x^4),dx = -tfrac3x^55, integral 1,dx = x

Passo 3

Logo uma antiderivada é:
F(x)=x^33-3x^55+x

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral-1^1(x^2-3x^4+1),dx = F(1)-F(-1)

Passo 5

Calculando os valores:
F(1)=1^33-3cdot1^55+1 = 13-35+1 = 5-9+1515=1115,
F(-1)=(-1)^33-3(-1)^55+(-1)= -13+35-1 = -5+9-1515= -1115,

Passo 6

portanto
integral-1^1(x^2-3x^4+1),dx = 1115 - l(-tfrac1115r) = 2215

Passo 7

Para que o valor da integral fosse igual à área total sob o gráfico, a função precisaria ser não negativa em todo o intervalo. Mas f(pm1)= -1<0, ou seja, f(x) fica negativa perto de x=pm1. Então o resultado 22/15 é a área algébrica (sinalizada), não a área geométrica total.

Resposta

integral-1^1(x^2 - 3x^4 + 1),dx = 2215. Como a função assume valores negativos no intervalo, esse valor é a área algébrica, não a área total sob o gráfico.

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