Uma chapa de metal plana está em um plano xy de modo que a temperatura
em função de
seja dada por
, em que
é expressa em graus Celsius
e em centímetros. Encontre a taxa instantânea de variação de
em relação à distância no ponto
na direção do eixo
.
Passo 1
A questão dá a temperatura T em cada ponto do plano xy por
, pede a taxa instantânea de variação de T em relação à distância no ponto
na direção do eixo x. Isso envolve derivadas parciais e derivada direcional ao longo do vetor unitário (1,0).
Passo 2
Para achar a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente de T. Usamos a regra da cadeia: se
com
, então
. De modo análogo,
.
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto
. Primeiro
. Então
e
. Logo
.
Passo 4
A derivada direcional de T na direção do eixo x corresponde ao produto escalar de
com o vetor unitário nessa direção,
. Assim
.
Resposta
A taxa instantânea de variação de T no ponto (1,2) ao longo do eixo x é 60 °C/cm.