Uma chapa de metal plana está em um plano xy de modo que a temperatura T em função de (x, y) seja dada por T(x, y)=3(x^2+y^2)^2, em que T é expressa em graus Celsius + e em centímetros. Encontre a taxa instantânea de variação de T em relação à distância no ponto (1,2) na direção do eixo x.

Passo 1

A questão dá a temperatura T em cada ponto do plano xy por T(x,y)=3(x^2+y^2)^2, pede a taxa instantânea de variação de T em relação à distância no ponto (1,2) na direção do eixo x. Isso envolve derivadas parciais e derivada direcional ao longo do vetor unitário (1,0).

Passo 2

Para achar a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente de T. Usamos a regra da cadeia: se T=3(u)^2 com u=x^2+y^2, então partial Tpartial x=3cdot2ucdotpartial upartial x=6(x^2+y^2)cdot2x=12x(x^2+y^2). De modo análogo, partial Tpartial y=12y(x^2+y^2).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,2). Primeiro x^2+y^2=1^2+2^2=5. Então partial Tpartial x(1,2)=12cdot1cdot5=60 e partial Tpartial y(1,2)=12cdot2cdot5=120. Logo nabla T(1,2)=(60,120).

Passo 4

A derivada direcional de T na direção do eixo x corresponde ao produto escalar de nabla T(1,2) com o vetor unitário nessa direção, u=(1,0). Assim DuT=nabla T(1,2)cdot(1,0)=60.

Resposta

A taxa instantânea de variação de T no ponto (1,2) ao longo do eixo x é 60 °C/cm.

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