Em cada item abaixo, verifique que
é um subespaço afim do espaço vetorial
, paralelo ao subespaço vetorial W indicado:
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
dos polinômios de grau
e define
Queremos mostrar que
é um subespaço afim de
, paralelo ao subespaço vetorial
. Para isso, basta achar um polinômio
e provar que
Passo 2
Mostramos primeiro que
é subespaço vetorial de
. De fato,
é o conjunto solução do sistema homogêneo
logo contém o polinômio zero e é fechado para soma e multiplicação escalar.
Em seguida, verificamos que
não é vazio, construindo um exemplo explícito de polinômio em
.
Passo 3
Escolhemos
.
Seus coeficientes são ,
,
,
, e verificamos
Seus coeficientes são
logo
.
Passo 4
Para mostrar
, tomemos
com coeficientes
. Defina
Os coeficientes de
são
,
,
,
. Então
logo
e
. O recíproco
para todo
é imediato pelas definições.
Assim
, mostrando que
é um subespaço afim de direção
.
Resposta
com
.