Em cada item abaixo, verifique que mathbbA é um subespaço afim do espaço vetorial mathscrP3, paralelo ao subespaço vetorial W indicado:
A & =a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3: a0-a3=1 e a1-a2=5, W & =a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3: a0-a3=0 e a1-a2=0

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial mathscrP3 dos polinômios de grau <=3 e define
A=a0+a1x+a2x^2+a3x^3:;a0-a3=1,;a1-a2=5,
W=a0+a1x+a2x^2+a3x^3:;a0-a3=0,;a1-a2=0
Queremos mostrar que A é um subespaço afim de mathscrP3, paralelo ao subespaço vetorial W. Para isso, basta achar um polinômio pinA e provar que
A=p+W,

Passo 2

Mostramos primeiro que W é subespaço vetorial de mathscrP3. De fato, W é o conjunto solução do sistema homogêneo
a0-a3=0, a1-a2=0,
logo contém o polinômio zero e é fechado para soma e multiplicação escalar.
Em seguida, verificamos que A não é vazio, construindo um exemplo explícito de polinômio em A.

Passo 3

Escolhemos p(x)=1+5x.
Seus coeficientes são a0=1, a1=5, a2=0, a3=0, e verificamos
a0-a3=1-0=1, a1-a2=5-0=5,
logo pinA.

Passo 4

Para mostrar A=p+W, tomemos finA com coeficientes a0,a1,a2,a3. Defina
w(x)=f(x)-p(x)
Os coeficientes de w são b0=a0-1, b1=a1-5, b2=a2, b3=a3. Então
b0-b3=(a0-1)-a3=(a0-a3)-1=1-1=0,
b1-b2=(a1-5)-a2=(a1-a2)-5=5-5=0,
logo winW e f=p+w. O recíproco p+winA para todo winW é imediato pelas definições.
Assim A=p+W, mostrando que A é um subespaço afim de direção W.

Resposta

A é subespaço afim de mathscrP3, paralelo a W, pois
A=p+W,
com p(x)=1+5x.

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