Em cada item abaixo, verifique que
é um subespaço afim do espaço vetorial
, paralelo ao subespaço vetorial W indicado:
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
(polinômios de grau
) e define o subconjunto
e o subespaço vetorial
A meta é verificar que
é um subespaço afim de
cuja direção (ou “vetor‐direção”) é exatamente
. Para isso vamos usar o fato de que um conjunto
é subespaço afim paralelo a
se e somente se existe um polinômio
tal que
e
é um subespaço vetorial de
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
coincide com o subespaço vetorial
- em
tem ; - em
tem ; - em
tem .
Logo.
. O espaço é claramente de dimensão (uma única restrição linear num espaço de dimensão ), e é gerado por vetores que são linearmente independentes (pode-se conferir pela matriz dos coeficientes). Então e .
Portanto
Passo 3
Para expressar
como tradução de
, escolhemos um polinômio
. Basta tomar os coeficientes satisfazendo
; a escolha mais simples é
pois nele
e
. Agora, seja
, então
. Logo
tem coeficientes
,
e portanto
ou seja
. Isso mostra
Reciprocamente, qualquer polinômio de
difere de
por um polinômio cujo
, logo pertence a
. Então