Em cada item abaixo, verifique que mathbbA é um subespaço afim do espaço vetorial mathscrP3, paralelo ao subespaço vetorial W indicado:
A & =a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3: a2-a0=2, W & =>=r[1+x+x^2+x^3, 1+x^2+2 x^3, 2+x+2 x^2-x^3]

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial mathscrP3 (polinômios de grau <= 3) e define o subconjunto
A=l,a0+a1x+a2x^2+a3x^3 : a2-a0=2r
e o subespaço vetorial
W=>=rl[,1+x+x^2+x^3,;1+x^2+2x^3,;2+x+2x^2-x^3r]
A meta é verificar que A é um subespaço afim de mathscrP3 cuja direção (ou “vetor‐direção”) é exatamente W. Para isso vamos usar o fato de que um conjunto A é subespaço afim paralelo a W se e somente se existe um polinômio p0inA tal que
A=p0+W
e W é um subespaço vetorial de mathscrP3.

Passo 2

Mostramos primeiro que W coincide com o subespaço vetorial
V=l,a0+a1x+a2x^2+a3x^3:a2-a0=0r
1. Cada gerador de W satisfaz a2-a0=0:
  • em 1+x+x^2+x^3 tem a0=1,;a2=1;
  • em 1+x^2+2x^3 tem a0=1,;a2=1;
  • em 2+x+2x^2-x^3 tem a0=2,;a2=2.
    Logo Wsubseteq V.
    2. O espaço V é claramente de dimensão 3 (uma única restrição linear a2-a0=0 num espaço de dimensão 4), e W é gerado por 3 vetores que são linearmente independentes (pode-se conferir pela matriz dos coeficientes). Então dimW=3=dim V e W=V.
Portanto
W=l,pinmathscrP3:a2-a0=0r

Passo 3

Para expressar A como tradução de W, escolhemos um polinômio p0inA. Basta tomar os coeficientes satisfazendo a2-a0=2; a escolha mais simples é
p0(x)=2x^2,
pois nele a0=0 e a2=2. Agora, seja w(x)=b0+b1x+b2x^2+b3x^3inW, então b2-b0=0. Logo
p0(x)+w(x) =(0+b0)+(b1)x+(2+b2)x^2+b3x^3
tem coeficientes a0=b0, a2=2+b2 e portanto
a2-a0=(2+b2)-b0=2+(b2-b0)=2+0=2,
ou seja p0+winA. Isso mostra
p0+WsubseteqA
Reciprocamente, qualquer polinômio de A difere de p0 por um polinômio cujo a2-a0=0, logo pertence a W. Então
A=p0+W

Resposta

A é, de fato, um subespaço afim de mathscrP3 paralelo a W, pois
A=2x^2+W

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