Exercício 10. Determine a equação geral do plano pi que contém as retas r1:lx=2 t y=3+2 t z=1-6 t e
r2:ly=x+1 z=-3 x-2.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano pi que contém as retas
r1: x=2t, y=3+2t, z=1-6t e r2: y=x+1, z=-3x-2
O conteúdo está em geometria analítica no espaço. Para resolver, vamos:
  1. Extrair vetores diretores e pontos de cada reta;
  2. Verificar a relação entre esses vetores;
  3. Encontrar um vetor normal ao plano via produto vetorial;
  4. Montar a equação do plano.

Passo 2

Da reta r1 temos o parâmetro t. Para t=0 escolhemos o ponto
P=(0,3,1)
e o vetor diretor
vec v1=(2,2,-6)
Para a reta r2 parametrizamos por s com x=s, obtendo
Q=(0,1,-2)em s=0,
e o vetor diretor
vec v2=(1,1,-3)

Passo 3

Observamos que
vec v1=2,vec v2,
ou seja, as retas são paralelas. Para definir o plano precisamos de um segundo vetor contido nele: usamos o vetor que liga P a Q,
PQ=Q-P=(0,-2,-3)

Passo 4

O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial de vec v2 e PQ:
vec n =vec v2timesPQ = i & j & k 1 & 1 & -3 0 & -2 & -3 =(-9,,3,,-2)
Podemos multiplicar por -1 e usar
vec n=(9,,-3,,2)

Passo 5

A equação do plano com normal vec n=(9,-3,2) que passa em P=(0,3,1) é
9,(x-0)-3,(y-3)+2,(z-1)=0
Desenvolvendo:
9x-3y+9+2z-2=0 Longrightarrow 9x-3y+2z+7=0

Resposta

A equação geral do plano pi é
boxed9x - 3y + 2z + 7 = 0

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