x y^prime prime(x)+(1-x) y^prime(x)+(nu+lambda) y(x)=0
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Supondo y(0)=1 e nu+lambda=1, determine y(x).

Passo 1

Temos a equação x,y''(x)+(1-x),y'(x)+(nu+lambda),y(x)=0com a condição inicial y(0)=1 e nu+lambda=1. O objetivo é buscar uma solução analítica em série de potências centrada em x=0.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências do tipo y(x)=sumk=0^inftyakx^k. Então
y'(x)=sumk=1^infty k,akx^k-1, y''(x)=sumk=2^infty k(k-1)akx^k-2

Passo 3

Substituindo na equação original e reorganizando os somatórios em potências de x^k, chegamos ao coeficiente de x^k:
(k+1)^2ak+1+(1-k)ak=0Longrightarrow ak+1=k-1(k+1)^2,ak

Passo 4

Pela condição inicial y(0)=a0=1. Então
a1=0-11^2a0=-1, a2=1-12^2a1=0,
e por recorrência todos os ak para k>=2 são zero. Assim a série truncou-se em grau 1 e
y(x)=a0+a1x=1-x

Resposta

y(x)=1-x

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