Para cada item, ache os pontos críticos da função f e os classifique
f(x, y)=x^3+y^3-12 x-12 y+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 12x - 12y + 5 $ e classificá-los. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e pontos críticos. O que vamos precisar é calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
3x^2 - 12 = 0 3y^2 - 12 = 0

Passo 4

Vamos resolver cada equação:
Para $ x $:
x
Para $ y $:
3x^2 - 12 = 0 implies x^2 = 4 implies x = pm 2

Passo 5

Com as soluções encontradas, os pontos críticos são todas as combinações possíveis de $ x $ e $ y $:
x

Passo 6

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
O discriminante $ D $ é dado por:
D

Passo 7

Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico:
  1. Ponto (2, 2):
D
fxx = 6 times 2 = 12, fyy = 6 times 2 = 12
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, é um mínimo local.
  1. Ponto (2, -2):
D = 12 times 12 - 0 = 144 > 0
D > 0
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  1. Ponto (-2, 2):
fxx > 0
fxx = 6 times 2 = 12, fyy = 6 times (-2) = -12
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  1. Ponto (-2, -2):
D = 12 times (-12) - 0 = -144 < 0
D < 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 12x - 12y + 5 $ e suas classificações são:
  • $ (2, 2) $: Mínimo local
  • $ (2, -2) $: Ponto de sela
  • $ (-2, 2) $: Ponto de sela
  • $ (-2, -2) $: Máximo local

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