Para cada item, ache os pontos críticos da função
e os classifique
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 12x - 12y + 5 $ e classificá-los. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e pontos críticos. O que vamos precisar é calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos e depois analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 4
Vamos resolver cada equação:
Para $ x $:
Para $ y $:
Passo 5
Com as soluções encontradas, os pontos críticos são todas as combinações possíveis de $ x $ e $ y $:
Passo 6
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
O discriminante $ D $ é dado por:
Passo 7
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico:
- Ponto (2, 2):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, é um mínimo local.
- Ponto (2, -2):
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
- Ponto (-2, 2):
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
- Ponto (-2, -2):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 12x - 12y + 5 $ e suas classificações são:
- $ (2, 2) $: Mínimo local
- $ (2, -2) $: Ponto de sela
- $ (-2, 2) $: Ponto de sela
- $ (-2, -2) $: Máximo local