Para cada item, determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = \sqrt{x + e^{4y}} $ no ponto $ P = (3, 0, 2) $. Isso envolve cálculo de derivadas parciais para achar as inclinações do plano nos eixos $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar que o ponto $ P = (3, 0, 2) $ está realmente no gráfico da função. Vamos calcular $ f(3, 0) $:
Então, $ P = (3, 0, 2) $ está no gráfico, certinho!
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos uma variável de cada vez.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
Em seguida, a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (3, 0) $:
Para $ f_x(3, 0) $:
Para $ f_y(3, 0) $:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais no ponto $ P $, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Passo 7
Para deixar a equação mais arrumada, podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Assim, a equação do plano tangente fica:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ P = (3, 0, 2) $ é: