Para cada item, determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P indicado.
f(x, y)=raizx+e^4 y, P=(3,0,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = \sqrt{x + e^{4y}} $ no ponto $ P = (3, 0, 2) $. Isso envolve cálculo de derivadas parciais para achar as inclinações do plano nos eixos $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar que o ponto $ P = (3, 0, 2) $ está realmente no gráfico da função. Vamos calcular $ f(3, 0) $:
P = (3, 0, 2)
Então, $ P = (3, 0, 2) $ está no gráfico, certinho!

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos uma variável de cada vez.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
f
Em seguida, a derivada parcial em relação a $ y $:
x

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (3, 0) $:
Para $ f_x(3, 0) $:
(3, 0)
Para $ f_y(3, 0) $:
fx(3, 0)

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais no ponto $ P $, podemos usar a fórmula do plano tangente:
P
Substituindo os valores:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
z = 2 + 14x - 34 + y
z = y + 14x + 54

Passo 7

Para deixar a equação mais arrumada, podemos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar a fração:
4z = 4y + x + 5
Assim, a equação do plano tangente fica:
x + 4y - 4z + 5 = 0

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ P = (3, 0, 2) $ é:
f

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