Ache os extremos de
na esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a função $ f(x, y, z) = x - 2y + 2z $ atinge seus valores máximos e mínimos na superfície da esfera definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Vamos usar um método chamado multiplicadores de Lagrange, que é muito útil pra otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto extremo, o gradiente da função que queremos otimizar ($ \nabla f
\nabla g $), onde $ g(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 $. Então, temos a equação:
Aqui, $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das funções. O gradiente de $ f $ é:
E o gradiente de $ g $ é:
Passo 4
Agora, igualamos os gradientes multiplicados por $ \lambda $:
Isso nos dá um sistema de equações:
Além disso, temos a restrição da esfera:
Passo 5
Vamos resolver as equações do sistema. Da primeira equação:
Da segunda:
Da terceira:
Agora, substituímos $ x, y, z $ na equação da esfera:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de $ x, y, z $ para cada valor de $ \lambda $.
Para $ \lambda = \frac{3}{2} $:
Para $ \lambda = -\frac{3}{2} $:
Resposta
Os extremos da função são:
- Máximo em $ \left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) $
- Mínimo em $ \left( -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right) $