Ache os extremos de f(x, y, z)=x-2 y+2 z na esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde a função $ f(x, y, z) = x - 2y + 2z $ atinge seus valores máximos e mínimos na superfície da esfera definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Vamos usar um método chamado multiplicadores de Lagrange, que é muito útil pra otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto extremo, o gradiente da função que queremos otimizar ($ \nabla f nabla f éçã \nabla g $), onde $ g(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 $. Então, temos a equação:
nabla g
Aqui, $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes das funções. O gradiente de $ f $ é:
f
E o gradiente de $ g $ é:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (1, -2, 2)

Passo 4

Agora, igualamos os gradientes multiplicados por $ \lambda $:
lambda
Isso nos dá um sistema de equações:
(1, -2, 2) = lambda (2x, 2y, 2z)
Além disso, temos a restrição da esfera:
1 = 2lambda x -2 = 2lambda y 2 = 2lambda z

Passo 5

Vamos resolver as equações do sistema. Da primeira equação:
x = 12lambda
Da segunda:
y = -22lambda = -1lambda
Da terceira:
z = 22lambda = 1lambda
Agora, substituímos $ x, y, z $ na equação da esfera:
x, y, z

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de $ x, y, z $ para cada valor de $ \lambda $.
Para $ \lambda = \frac{3}{2} $:
x, y, z
Para $ \lambda = -\frac{3}{2} $:
lambda

Resposta

Os extremos da função são:
  • Máximo em $ \left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) $
  • Mínimo em $ \left( -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3} \right) $

Exercícios relacionados