Para cada item, ache os valores máximo e mínimo que a função f: D R assume no domínio D indicado
f(x, y)=x^2+y^2-4 x-4 y, D=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 9

Passo 1

Então, a gente tem uma função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 4x - 4y $ e um domínio $ D $ definido por todos os pontos f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 4y no plano que satisfazem $ x^{2} + y^{2} \leq 9 $. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores máximo e mínimo que essa função assume dentro desse domínio. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre encontrar extremos de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x, y) $. Observamos que ela pode ser reescrita completando o quadrado para facilitar a análise. Vamos fazer isso para $ x $ e $ y $ separadamente.
Para $ x $:
f(x, y)
Para $ y $:
x
Então, a função fica:
y

Passo 3

Agora, percebemos que $ (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} $ é sempre maior ou igual a zero, já que é a soma de quadrados. Portanto, o menor valor que $ f(x, y) $ pode assumir é quando ambos os quadrados são zero, ou seja, em $ x = 2 $ e $ y = 2 $.
Mas, precisamos verificar se o ponto $ (2, 2) $ está dentro do domínio $ D $. Substituindo na inequação:
(x - 2)^2 + (y - 2)^2
Como 8 é menor que 9, o ponto está dentro do domínio.

Passo 4

Então, o valor mínimo de $ f(x, y) $ é:
f(x, y)

Passo 5

Para encontrar o valor máximo, precisamos analisar o comportamento da função na fronteira do domínio, ou seja, quando $ x^{2} + y^{2} = 9 $. Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa análise.
Dizemos que:
x^2 + y^2 = 9
x = 3costheta
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Substituindo na função:
y = 3sintheta
theta
0
2pi
f(3costheta, 3sintheta) = (3costheta)^2 + (3sintheta)^2 - 4(3costheta) - 4(3sintheta)

Passo 6

Agora, queremos maximizar $ f(\theta) = 9 - 12\cos\theta - 12\sin\theta $. Para isso, podemos expressar $ -12\cos\theta - 12\sin\theta $ como uma única função cosseno.
Sabemos que:
f(theta) = 9 - 12costheta - 12sintheta
onde $ R = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $ e $ \phi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $.
No nosso caso, $ a = -12 $ e $ b = -12 $, então:
-12costheta - 12sintheta
acostheta + bsintheta = Rcos(theta - phi)
Portanto:
R = raiza^2 + b^2

Passo 7

Assim, a função se torna:
f(theta) = 9 + 12raiz2cos(theta - pi4)
Sabemos que o cosseno varia entre -1 e 1, então:
-1 <= cos(theta - pi4) <= 1
Multiplicando por $ 12\sqrt{2} $:
12raiz2
Somando 9:
-12raiz2 <= 12raiz2cos(theta - pi4) <= 12raiz2
O valor máximo ocorre quando $ \cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 1 $:
9 - 12raiz2 <= f(theta) <= 9 + 12raiz2 á

Resposta

O valor mínimo que a função $ f $ assume é f e o valor máximo é $ 9 + 12\sqrt{2} $.

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