Para cada item, ache os valores máximo e mínimo que a função
assume no domínio
indicado
Passo 1
Então, a gente tem uma função $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 4x - 4y $ e um domínio $ D $ definido por todos os pontos
no plano que satisfazem $ x^{2} + y^{2} \leq 9 $. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores máximo e mínimo que essa função assume dentro desse domínio. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre encontrar extremos de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x, y) $. Observamos que ela pode ser reescrita completando o quadrado para facilitar a análise. Vamos fazer isso para $ x $ e $ y $ separadamente.
Para $ x $:
Para $ y $:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, percebemos que $ (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} $ é sempre maior ou igual a zero, já que é a soma de quadrados. Portanto, o menor valor que $ f(x, y) $ pode assumir é quando ambos os quadrados são zero, ou seja, em $ x = 2 $ e $ y = 2 $.
Mas, precisamos verificar se o ponto $ (2, 2) $ está dentro do domínio $ D $. Substituindo na inequação:
Como 8 é menor que 9, o ponto está dentro do domínio.
Passo 4
Então, o valor mínimo de $ f(x, y) $ é:
Passo 5
Para encontrar o valor máximo, precisamos analisar o comportamento da função na fronteira do domínio, ou seja, quando $ x^{2} + y^{2} = 9 $. Vamos usar coordenadas polares para facilitar essa análise.
Dizemos que:
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Substituindo na função:
Passo 6
Agora, queremos maximizar $ f(\theta) = 9 - 12\cos\theta - 12\sin\theta $. Para isso, podemos expressar $ -12\cos\theta - 12\sin\theta $ como uma única função cosseno.
Sabemos que:
onde $ R = \sqrt{a^{2} + b^{2}} $ e $ \phi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) $.
No nosso caso, $ a = -12 $ e $ b = -12 $, então:
Portanto:
Passo 7
Assim, a função se torna:
Sabemos que o cosseno varia entre -1 e 1, então:
Multiplicando por $ 12\sqrt{2} $:
Somando 9:
O valor máximo ocorre quando $ \cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 1 $:
Resposta
O valor mínimo que a função $ f $ assume é
e o valor máximo é $ 9 + 12\sqrt{2} $.