Dados os polinômios A=x^6-x^5+x-1, B=x^10+2 x^5+1 e C=x^10-1, escreva-os na forma fatorada.
a) A=

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para fatorar o polinômio . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre fatoração de polinômios. Precisamos identificar fatores comuns e aplicar técnicas de fatoração como agrupamento e soma de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar agrupar os termos de maneira que possamos fatorar algo em comum. Olhando para A = x^6 - x^5 + x - 1 = x^5(x - 1) + 1(x - 1) , podemos reescrever assim:
Aqui, fatoramos do primeiro par de termos e do segundo par.

Passo 3

Agora, percebemos que A = (x^5 + 1)(x - 1) é um fator comum nos dois grupos. Então, podemos colocar em evidência:
Isso nos dá uma fatoração inicial, mas podemos ir além!

Passo 4

Vamos fatorar x^n + a^n = (x + a)(x^n-1 - x^n-2a + x^n-3a^2 - dots + a^n-1) . Isso é uma soma de potências, que pode ser fatorada usando a fórmula:
x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
Aplicando isso para e :

Passo 5

Substituindo de volta na fatoração de A = (x - 1)(x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) , temos:
Esse é o polinômio completamente fatorado.

Resposta

A forma fatorada do polinômio A = (x - 1)(x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) é:

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