Em cada item, calcule alpha(t)=(cos (omega t), sen(omega t)) e t0=0.
e .

Passo 1

O enunciado pede pra gente derivar uma curva paramétrica e calcular a norma da derivada, bem como avaliar tudo em um ponto específico. O conteúdo envolve derivada de função vetorial e o cálculo de norma de vetor.

Passo 2

Para achar alpha'(t), derivamos cada componente de alpha(t)=(cos(omega t),sin(omega t)) usando a regra da cadeia:
Derivando temos ddt[cos(omega t)]=-omegasin(omega t) e ddt[sin(omega t)]=omegacos(omega t), logo
alpha'(t)=(-omegasin(omega t),;omegacos(omega t))

Passo 3

Agora calculamos a norma de alpha'(t) usando | (x,y)|=raizx^2+y^2:
|alpha'(t)|=raiz(-omegasin(omega t))^2+(omegacos(omega t))^2=raizomega^2(sin^2(omega t)+cos^2(omega t))=|omega|

Passo 4

Por fim, avaliamos em t0=0:
Derivada: alpha'(0)=(-omegasin0,;omegacos0)=(0,omega)
Norma em t0: |alpha'(0)|=|omega|

Resposta

alpha'(t)=(-omegasin(omega t),;omegacos(omega t)), |alpha'(t)|=|omega|, alpha'(0)=(0,omega), |alpha'(0)|=|omega|

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