Suponha que
seja diferenciável em
e que
e
. Se
e
, então qual o valor de
é dado por:
Escolha uma opção:
a.- 7
b. -5
c. -6
d.-8
e.-4
Escolha uma opção:
a.- 7
b. -5
c. -6
d.-8
e.-4
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função $ z = f(x, y) $ que é diferenciável no ponto $ (8, 0) $. A gente sabe as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ nesse ponto: $ \frac{\partial f}{\partial x} = 1 $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} = -7 $. Além disso, temos duas funções que dependem de $ t $: $ x(t) = t^2 + 7 $ e $ y(t) = t - 1 $. Queremos descobrir o valor da derivada de $ z $ em relação a $ t $ quando $ t = 1 $. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia para derivadas de funções compostas. Se $ z = f(x, y) $ e tanto $ x $ quanto $ y $ dependem de $ t $, então a derivada de $ z $ em relação a $ t $ é dada por:
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Para $ x(t) = t^2 + 7 $:
Para $ y(t) = t - 1 $:
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto $ t = 1 $:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que já sabemos na fórmula da regra da cadeia:
Sabemos que $ \frac{\partial f}{\partial x} = 1 $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} = -7 $, além de $ \frac{dx}{dt} = 2 $ e $ \frac{dy}{dt} = 1 $. Então:
Resposta
A derivada $ \frac{dz}{dt}(1) $ é igual a -5, ou seja, a opção b. -5.