Seja f: C C uma função holomorfa tal que |f(z)| <=|e^z z|. Determine as possíveis f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as funções inteiras f: ℂ→ℂ tais que |f(z)| ≤ |e^z z| em todo z. Vamos usar teoria de funções inteiras, remoção de singularidades, e o Teorema de Liouville.

Passo 2

Se quisermos que |f(z)| ≤ |e^z z| mesmo quando z→0, note que |e^z|≈1 perto de z=0. Se f(0)≠0, então |f(z)|/|z e^z|≈|f(0)|/|z|→∞, violando a condição. Logo, f(0)=0.

Passo 3

Como f é inteira e f(0)=0, podemos escrever f(z)=z·g(z), onde g é inteira.

Passo 4

Definimos então h(z)=g(z)/e^z. Como e^z nunca zera, h é inteira. Além disso, da condição |f(z)|≤|e^z z| segue
|g(z)|=|f(z)||z|<=|e^z||z||z|=|e^z|,
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|h(z)|=|g(z)e^z|<=1

Passo 5

Pelo Teorema de Liouville, h, sendo inteira e limitada, é constante: h(z)=C com |C|≤1.

Passo 6

Voltando a g e f, temos g(z)=C e^z e portanto f(z)=z·g(z)=C z e^z, com |C|≤1.

Resposta

f(z)=C z e^z, onde C∈ℂ e |C|≤1.

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