Sejam f: C C e g: C C funções holomorfas tais que |f(z)|<|g(z)| para todo z in C. Determine a relação entre f e g.

Passo 1

O enunciado pede para funções inteiras (holomorfas em todo C) f e g que satisfazem |f(z)|<|g(z)| em todo z. O conteúdo principal envolve o Teorema de Liouville e a construção de uma função razão inteira e limitada.

Passo 2

Primeiro, observe que se existir z0 tal que g(z0)=0, então pela desigualdade |f(z0)|<|g(z0)|=0 teríamos |f(z0)|<0, o que é impossível. Logo, g(z) não tem zeros em C.

Passo 3

Como g é inteira e nunca se anula, podemos considerar a função razão
h(z)=f(z)g(z)
que é holomorfa em todo C (singularidades removíveis seriam nos zeros de g, mas vimos que não há zeros). Da desigualdade |f(z)|<|g(z)| segue que
|h(z)|=|f(z)g(z)|<1
para todo z. Assim, h é uma função inteira e limitada.

Passo 4

Pelo Teorema de Liouville, toda função inteira e limitada é constante. Logo, existe cinC tal que h(z)=c para todo z, com |c|<1. Voltando à definição de h, concluímos que
f(z)=c,g(z)
com |c|<1.

Resposta

f(z)=c,g(z) para todo zinC, onde c é constante complexa com |c|<1.

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