Sejam e funções holomorfas tais que para todo . Determine a relação entre e .
Passo 1
O enunciado pede para funções inteiras (holomorfas em todo ) e que satisfazem em todo . O conteúdo principal envolve o Teorema de Liouville e a construção de uma função razão inteira e limitada.
Passo 2
Primeiro, observe que se existir tal que , então pela desigualdade teríamos , o que é impossível. Logo, não tem zeros em .
Passo 3
Como é inteira e nunca se anula, podemos considerar a função razão
que é holomorfa em todo (singularidades removíveis seriam nos zeros de , mas vimos que não há zeros). Da desigualdade segue que
para todo z. Assim, h é uma função inteira e limitada.
Passo 4
Pelo Teorema de Liouville, toda função inteira e limitada é constante. Logo, existe cinC tal que h(z)=c para todo z, com |c|<1. Voltando à definição de h, concluímos que
f(z)=c,g(z)
com |c|<1.
Resposta
f(z)=c,g(z) para todo zinC, onde c é constante complexa com |c|<1.