Em cada item, calcule alpha(t)=(cos t, sen t) e t0=0.
e .

Passo 1

O enunciado pede para uma curva no plano parametrizada por alpha(t)=(cos t,sin t) calcular a derivada alpha'(t), o módulo |alpha'(t)|, e depois avaliar ambos em t0=0. O conteúdo é derivação de funções vetoriais e cálculo de norma de vetores.

Passo 2

Para encontrar alpha'(t), derivamos componente a componente. Sabemos que a derivada de cos t é -sin t e a de sin t é cos t. Assim,
alpha'(t)=(-sin t,cos t)

Passo 3

Em seguida, para o módulo usamos a definição |(x,y)|=raizx^2+y^2. Logo,
|alpha derivada'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2=raizsin^2t+cos^2t=1

Passo 4

Agora basta avaliar em t0=0. Substituindo t=0 em alpha'(t) obtemos
alpha'(0)=(-sin0,cos0)=(0,1)

Passo 5

Por fim, o módulo em t0=0 é constante igual a 1, ou seja,
|alpha'(0)|=1

Resposta

alpha'(t)=(-sin t,cos t), |alpha'(t)|=1, alpha'(0)=(0,1), |alpha'(0)|=1

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