3^circ ) Determine os valores de máximos, mínimos locais e pontos de sela da função caso existam:
z=f(x, y)=x^2+y^2-5 (3,5 p t)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores de máximos, mínimos locais e pontos de sela da função $ z = f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 5 $. Isso envolve usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente encontrar pontos críticos e analisar a natureza desses pontos usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
E a derivada parcial em relação a $ y $:
x

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
2x = 0 Rightarrow x = 0
2y = 0 Rightarrow y = 0
Portanto, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 5

Agora, precisamos determinar a natureza desse ponto crítico. Usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0

Passo 6

Calculamos o discriminante $ D $:
D
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, isso indica que o ponto crítico $ (0, 0) $ é um mínimo local.

Resposta

A função $ z = x^{2} + y^{2} - 5 $ possui um mínimo local em $ (0, 0) $ com valor $ z = -5 $. Não há máximos locais nem pontos de sela.

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