) Determine os valores de máximos, mínimos locais e pontos de sela da função caso existam:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores de máximos, mínimos locais e pontos de sela da função $ z = f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 5 $. Isso envolve usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente encontrar pontos críticos e analisar a natureza desses pontos usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
E a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Portanto, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.
Passo 5
Agora, precisamos determinar a natureza desse ponto crítico. Usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Passo 6
Calculamos o discriminante $ D $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, isso indica que o ponto crítico $ (0, 0) $ é um mínimo local.
Resposta
A função $ z = x^{2} + y^{2} - 5 $ possui um mínimo local em $ (0, 0) $ com valor $ z = -5 $. Não há máximos locais nem pontos de sela.