Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é a integral indefinida:
Esse exercício tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente trabalhando com Integrais Racionais utilizando frações parciais. Para resolver isso, vamos dividir a função racional em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa frações parciais. Quando temos uma fração com polinômios no numerador e denominador, podemos quebrar essa fração em somas de frações menores. Isso facilita bastante a hora de integrar.
No nosso caso, a expressão pode ser decomposta em frações parciais da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.
Passo 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de A, B e C.
Passo 6
Da primeira equação, temos A = -B.
Substituindo A = -B nas outras equações:
4(-B) + 3B + C = 0 implies -4B + 3B + C = 0 implies -B + C = 0 implies C = B
E na terceira equação:
4(-B) + 2B + C = 1 implies -4B + 2B + B = 1 implies -B = 1 implies B = -1
Então, A = -B = 1 e C = B = -1.
Passo 7
Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
1(t+2)^2(t+1) = 1t+1 - 1t+2 - 1(t+2)^2
Passo 8
Por fim, vamos integrar cada termo separadamente:
integral dt(t+2)^2(t+1) = integral 1t+1 dt - integral 1t+2 dt - integral 1(t+2)^2 dt