Calcule as Integrais Indefinidas
integral d t(t+2)^2(t+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é a integral indefinida:
integral dt(t+2)^2(t+1)
Esse exercício tá dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente trabalhando com Integrais Racionais utilizando frações parciais. Para resolver isso, vamos dividir a função racional em partes mais simples que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa frações parciais. Quando temos uma fração com polinômios no numerador e denominador, podemos quebrar essa fração em somas de frações menores. Isso facilita bastante a hora de integrar.
No nosso caso, a expressão 1(t+2)^2(t+1) pode ser decomposta em frações parciais da seguinte forma:
1(t+2)^2(t+1) = At+1 + Bt+2 + C(t+2)^2
Aqui, A, B e C são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (t+2)^2(t+1) para eliminar os denominadores:
1 = A(t+2)^2 + B(t+1)(t+2) + C(t+1)
Expandindo os termos:
1 = A(t^2 + 4t + 4) + B(t^2 + 3t + 2) + C(t + 1)

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes:
1 = (A + B)t^2 + (4A + 3B + C)t + (4A + 2B + C)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação.

Passo 5

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
A + B = 0 4A + 3B + C = 0 4A + 2B + C = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de A, B e C.

Passo 6

Da primeira equação, temos A = -B.
Substituindo A = -B nas outras equações:
4(-B) + 3B + C = 0 implies -4B + 3B + C = 0 implies -B + C = 0 implies C = B
E na terceira equação:
4(-B) + 2B + C = 1 implies -4B + 2B + B = 1 implies -B = 1 implies B = -1
Então, A = -B = 1 e C = B = -1.

Passo 7

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
1(t+2)^2(t+1) = 1t+1 - 1t+2 - 1(t+2)^2

Passo 8

Por fim, vamos integrar cada termo separadamente:
integral dt(t+2)^2(t+1) = integral 1t+1 dt - integral 1t+2 dt - integral 1(t+2)^2 dt
Integrando:
= ln|t+1| - ln|t+2| + 1t+2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é igual a:
ln|t+1| - ln|t+2| + 1t+2 + C

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