Em cada item, calcule t0=1 e .
e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função vetorial de \ Grade superior e a norma dessa derivada, tanto de forma geral em função de \t\, quanto no ponto \t_0=1\. Vamos usar derivação componente a componente e a definição de norma Euclidiana no plano.

Passo 2

Para obter \alpha’(t)\ fazemos a derivada de cada componente da função \alpha(t) = (2 t^2, 3 t + 1)\: a derivada de \2 t^2\ é \4 t\ e a derivada de \3 t + 1\ é \3\. Portanto:
[\alpha’(t) = (4t,,3)]

Passo 3

A norma de um vetor \v = (v_1, v_2)\ no plano é \|v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\. Aplicando a \alpha’(t)\ temos:
[\|\alpha’(t)| = \sqrt{(4t)^2 + 3^2} = \sqrt{16t^2 + 9}]

Passo 4

Agora avaliamos em \t_0 = 1\ substituindo \t = 1\ em \alpha’(t)\ e em sua norma.
[\alpha’(1) = (4\cdot1,,3) = (4,,3)]
[\|\alpha’(1)| = \sqrt{16\cdot1^2 + 9} = \sqrt{25} = 5]

Resposta

\alpha’(t) = (4t,,3),\ |\alpha’(t)| = \sqrt{16t^2 + 9},\ \alpha’(1) = (4,,3),\ |\alpha’(1)| = 5

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