Em cada item, calcule alpha(t)=(cos (2 t), sen(2 t)) e t0=0.
e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular alpha'(t), |alpha'(t)|, alpha'(t0) e |alpha'(t0)| para a curva alpha(t)=(cos(2t),sen(2t)) em t0=0. Vamos usar derivação de funções vetoriais e regra da cadeia.

Passo 2

Derivando componente a componente, temos: a derivada de cos(2t) é -2sen(2t) e a derivada de sen(2t) é 2cos(2t). Logo,

Passo 3

Para calcular o módulo de alpha'(t), usamos a definição |v|=raizvx^2+vy^2:
|alpha'(t)|=raiz(-2sen(2t))^2+(2cos(2t))^2=raiz4sen^2(2t)+4cos^2(2t)=2

Passo 4

Avaliaremos agora em t0=0. Substituindo em alpha'(t) e em seu módulo:
  • alpha'(0)=(-2sen(0),2cos(0))=(0,2).
  • |alpha'(0)|=raiz0^2+2^2=2.

Resposta

alpha'(t)=(-2sen(2t),2cos(2t)), |alpha'(t)|=2, alpha'(0)=(0,2), |alpha'(0)|=2

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