Defina
. Seja
uma função holomorfa tal que
para todo
. Prove que
é constante.
Passo 1
O enunciado é o seguinte: temos
e uma função holomorfa
tal que
para todo
. O conteúdo principal envolve equações funcionais em funções holomorfas e a ideia de usar limites de iterações para mostrar que
é constante.
Passo 2
Como
, ao definirmos a sequência
temos
quando
. Logo, para cada
,
.
Passo 3
Pela hipótese funcional,
para todo
. Como
é holomorfa, ela é contínua, então podemos passar ao limite e obter
Passo 4
Assim, para todo
vale
, o que mostra que
é constante.
Resposta
A função satisfaz
para todo
, logo é constante.