Defina D=z in C:|z|<1. Seja f: D D uma função holomorfa tal que f(z)=f(z^2) para todo z in D. Prove que f é constante.

Passo 1

O enunciado é o seguinte: temos D=zinC:|z|<1 e uma função holomorfa f:DtoD tal que f(z)=f(z^2) para todo zinD. O conteúdo principal envolve equações funcionais em funções holomorfas e a ideia de usar limites de iterações para mostrar que f é constante.

Passo 2

Como |z|<1, ao definirmos a sequência zn=z^2^n temos |zn|=|z|^2^nto0 quando ntoinfty. Logo, para cada zinD, znto0.

Passo 3

Pela hipótese funcional, f(z)=f(z^2)=f(z^2^2)=cdots=f(z^2^n)=f(zn) para todo n. Como f é holomorfa, ela é contínua, então podemos passar ao limite e obter
f(z)=limntoinftyf(zn)=fl(limntoinftyznr)=f(0)

Passo 4

Assim, para todo zinD vale f(z)=f(0), o que mostra que f é constante.

Resposta

A função satisfaz f(z)=f(0) para todo zinD, logo é constante.

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