Seja
um domínio. Se
é uma função holomorfa tal que a parte real de
atinge um máximo ou um mínimo local em
prove que
é constante.
Passo 1
A questão pede para mostrar que se uma função holomorfa f:Ω→ℂ tem sua parte real u(z)=Re(f(z)) atingindo um extremo local em a∈Ω, então f é constante. O conteúdo envolve as propriedades de funções harmônicas (já que u é harmônica) e o princípio do máximo para funções harmônicas, além das equações de Cauchy–Riemann para concluir que a parte imaginária também é constante.
Passo 2
Vamos chamar u(z)=Re(f(z)) e v(z)=Im(f(z)). Como f é holomorfa em Ω, u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann e u é harmônica, isto é, satisfaz a equação de Laplace
.
Passo 3
Pelo princípio do máximo para funções harmônicas, uma função harmônica não pode ter um máximo ou mínimo local no interior de seu domínio, a menos que seja constante nesse domínio conexo. Como u atinge um extremo local em a∈Ω e Ω é conexo, concluímos que u é constante em Ω.
Passo 4
Como u é constante, suas derivadas parciais são zero em todo ponto de Ω:
e
. Pelas equações de Cauchy–Riemann temos
e
. Logo v também é constante em Ω.
Passo 5
Se u e v são constantes em Ω, então f(z)=u(z)+i
v(z) é constante em Ω, como queríamos provar.
v(z) é constante em Ω, como queríamos provar.
Resposta
f é constante em Ω.