Seja Omega subset C um domínio. Se f: Omega C é uma função holomorfa tal que a parte real de f atinge um máximo ou um mínimo local em a in Omega prove que f é constante.

Passo 1

A questão pede para mostrar que se uma função holomorfa f:Ω→ℂ tem sua parte real u(z)=Re(f(z)) atingindo um extremo local em a∈Ω, então f é constante. O conteúdo envolve as propriedades de funções harmônicas (já que u é harmônica) e o princípio do máximo para funções harmônicas, além das equações de Cauchy–Riemann para concluir que a parte imaginária também é constante.

Passo 2

Vamos chamar u(z)=Re(f(z)) e v(z)=Im(f(z)). Como f é holomorfa em Ω, u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann e u é harmônica, isto é, satisfaz a equação de Laplace uxx+uyy=0.

Passo 3

Pelo princípio do máximo para funções harmônicas, uma função harmônica não pode ter um máximo ou mínimo local no interior de seu domínio, a menos que seja constante nesse domínio conexo. Como u atinge um extremo local em a∈Ω e Ω é conexo, concluímos que u é constante em Ω.

Passo 4

Como u é constante, suas derivadas parciais são zero em todo ponto de Ω: ux=0 e uy=0. Pelas equações de Cauchy–Riemann temos vy = ux = 0 e vx = -uy = 0. Logo v também é constante em Ω.

Passo 5

Se u e v são constantes em Ω, então f(z)=u(z)+i
v(z) é constante em Ω, como queríamos provar.

Resposta

f é constante em Ω.

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