Seja
uma função holomorfa tal que
para todo
. Prove que
é constante.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função holomorfa inteira
que satisfaz duas condições de periodicidade independentes:
e
para todo
. O conteúdo envolve funções elípticas (duas periodos lineares independentes) e vamos precisar do Teorema de Liouville para concluir que
é constante.
Passo 2
Como
e
são períodos de
, podemos definir a rede (lattice) de períodos
. A função
então é constante nas classes de equivalência
.
Passo 3
Escolhemos um paralelogramo fundamental (compacto) para
, por exemplo
$$
P={x+iy:;0\le x\le1,;0\le y\le1}\n
|f(w)|\le M\quad\forall w\in P.
$$
Passo 4
Agora, dado um ponto qualquer
, existem inteiros
tais que
Pela periodicidade de
, temos
e portanto
Isso mostra que
é limitada em todo
.
Passo 5
Pelo Teorema de Liouville, toda função inteira que é limitada em
é constante. Logo
é constante em todo o plano complexo.