Seja f: C C uma função holomorfa tal que f(z+1)=f(z+i)=f(z) para todo z in C. Prove que f é constante.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função holomorfa inteira f:CtoC que satisfaz duas condições de periodicidade independentes: f(z+1)=f(z) e f(z+i)=f(z) para todo z. O conteúdo envolve funções elípticas (duas periodos lineares independentes) e vamos precisar do Teorema de Liouville para concluir que f é constante.

Passo 2

Como 1 e i são períodos de f, podemos definir a rede (lattice) de períodos Lambda=m+ni:;m,ninZ. A função f então é constante nas classes de equivalência z+Lambda.

Passo 3

Escolhemos um paralelogramo fundamental (compacto) para Lambda, por exemplo
$$
P={x+iy:;0\le x\le1,;0\le y\le1}\n P=x+iy:;0<= x<=1,;0<= y<=1nééíéé
|f(w)|\le M\quad\forall w\in P.
$$

Passo 4

Agora, dado um ponto qualquer zinC, existem inteiros m,n tais que
w=z-(m+ni)in P
Pela periodicidade de f, temos
f(z)=f(w+(m+ni))=f(w),
e portanto
|f(z)|=|f(w)|<= M
Isso mostra que f é limitada em todo C.

Passo 5

Pelo Teorema de Liouville, toda função inteira que é limitada em C é constante. Logo f é constante em todo o plano complexo.

Resposta

f é constante.

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