Em cada item, calcule v]_{\beta} com as informações dadas:
I]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 2 & -3 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]\) onde \(\left.v\right]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right]\);

Passo 1

O enunciado nos dá duas informações claras:
[I]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & -3 & 0 \\[4pt] 1 & -1 & 0\end{pmatrix}
e
\left.v\right]_{\alpha}=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 3\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
A tarefa é calcular \left.v\right]_{\beta} usando essas informações.]

Passo 2

Vamos entender o que a notação significa (sem complicar): \left[I\right]_{\beta}^{\alpha} é a matriz que transforma coordenadas de um vetor expressas na base \alpha para coordenadas na base \beta. Portanto, para obter as coordenadas de v na base \beta usamos a multiplicação matricial
\left.v\right]_{\beta}=\left[I\right]_{\beta}^{\alpha}\,\left.v\right]_{\alpha}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \left[I\right]_{\beta}^{\alpha}: matriz (3×3) que converte coordenadas de \alpha para \beta.
  • \left.v\right]_{\alpha}: vetor-coluna (3×1) com as coordenadas de v na base \alpha.
  • \left.v\right]_{\beta}: resultado (3×1) que queremos — coordenadas de v na base \beta.

Passo 3

Explicando a multiplicação: cada componente de \left.v\right]_{\beta} é o produto escalar entre uma linha da matriz \left[I\right]_{\beta}^{\alpha} e o vetor \left.v\right]_{\alpha}. Escrevendo:
\left.v\right]_{\beta}= \begin{pmatrix} \text{linha}_1\cdot\left.v\right]_{\alpha}\\[4pt] \text{linha}_2\cdot\left.v\right]_{\alpha}\\[4pt] \text{linha}_3\cdot\left.v\right]_{\alpha} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular a primeira componente (produto da primeira linha pela coluna):
\begin{aligned} \text{componente}_1 &= (1)\cdot 2 + (0)\cdot 3 + (1)\cdot(-1)\\[4pt] &= 2 + 0 -1\\[4pt] &= 1. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular a segunda componente (produto da segunda linha pela coluna):
\begin{aligned} \text{componente}_2 &= (2)\cdot 2 + (-3)\cdot 3 + (0)\cdot(-1)\\[4pt] &= 4 -9 + 0\\[4pt] &= -5. \end{aligned}]

Passo 6

Calcular a terceira componente (produto da terceira linha pela coluna):
\begin{aligned} \text{componente}_3 &= (1)\cdot 2 + (-1)\cdot 3 + (0)\cdot(-1)\\[4pt] &= 2 -3 + 0\\[4pt] &= -1. \end{aligned}]

Passo 7

Juntando as três componentes obtemos o vetor de coordenadas de v na base \beta:
\left.v\right]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Resposta

\left.v\right]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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