Encontre a matriz mudança da base
para a base
nos seguintes casos:
para
em
;
Passo 1
O enunciado dá duas bases de
e pede a matriz de mudança da base
para a base
. Vou listar claramente o que temos:
-
. -
.
O que se pede: encontrar a matriz
tal que, para todo
,
Passo 2
Estratégia prática (passo-a-passo que sempre funciona): para cada vetor da base
(cada coluna), expressar esse vetor como combinação linear dos vetores de
. Ou seja, para cada
achar escalares
tais que
Os coeficientes
formam a coluna correspondente da matriz
. Vou fazer isso para os dois vetores de
.
Passo 3
Trabalhando com o primeiro vetor de
Escrevendo coordenadas, obtemos o sistema
Da segunda equação vem
na base
são
.]
Passo 4
Agora o segundo vetor de
Isso dá o sistema
Da segunda equação
e
.
Portanto as coordenadas de
na base
são
.]
Passo 5
Montando a matriz de mudança: as colunas são as coordenadas dos vetores de
expressos em
, na mesma ordem. Assim
Passo 6
Verificação rápida (só pra ficar mais confiante): se
então
e
que coincide com
encontrado. Igual para
. Isso confirma que a matriz está correta.