Encontre a matriz mudança da base \beta para a base \alpha nos seguintes casos:
\beta=\{(1,1),(0,1)\} para \alpha=\{(1,0),(-1,1)\} em V=\mathbb{R}^{2};

Passo 1

O enunciado dá duas bases de V=\mathbb{R}^{2} e pede a matriz de mudança da base \beta para a base \alpha. Vou listar claramente o que temos:
  • \beta=\{(1,1),(0,1)\}.
  • \alpha=\{(1,0),(-1,1)\}.
O que se pede: encontrar a matriz P_{\alpha\leftarrow\beta} tal que, para todo v\in\mathbb{R}^{2},
[v]_{\alpha}=P_{\alpha\leftarrow\beta}\,[v]_{\beta}.

Passo 2

Estratégia prática (passo-a-passo que sempre funciona): para cada vetor da base \beta (cada coluna), expressar esse vetor como combinação linear dos vetores de \alpha. Ou seja, para cada b\in\beta achar escalares x,y tais que
b = x\,(1,0) + y\,(-1,1).
Os coeficientes (x,y) formam a coluna correspondente da matriz P_{\alpha\leftarrow\beta}. Vou fazer isso para os dois vetores de \beta.

Passo 3

Trabalhando com o primeiro vetor de \beta\): \(b_{1}=(1,1)\). Procuramos \(x,y\) tais que \[x\,(1,0)+y\,(-1,1) = (1,1).
Escrevendo coordenadas, obtemos o sistema
\begin{cases} x - y = 1,\\[4pt] 0 + y = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem y=1\]. Substituindo na primeira: \[x - 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 2.\] Portanto as coordenadas de \(b_{1} na base \alpha são (2,1).]

Passo 4

Agora o segundo vetor de \beta\): \(b_{2}=(0,1)\). Procuramos \(x,y\) tais que \[x\,(1,0)+y\,(-1,1) = (0,1).
Isso dá o sistema
\begin{cases} x - y = 0,\\[4pt] y = 1. \end{cases}
Da segunda equação y=1\]. Então \(x - 1 = 0 e x=1.
Portanto as coordenadas de b_{2} na base \alpha são (1,1).]

Passo 5

Montando a matriz de mudança: as colunas são as coordenadas dos vetores de \beta expressos em \alpha, na mesma ordem. Assim
P_{\alpha\leftarrow\beta} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (só pra ficar mais confiante): se v=b_{1}=(1,1) então [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e
P_{\alpha\leftarrow\beta}\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix},
que coincide com [b_{1}]_{\alpha} encontrado. Igual para b_{2}. Isso confirma que a matriz está correta.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}]

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