Em cada item, calcule o gradiente de f.
f(x, y)=2 x^2 y-3 x y^3+7 y^5.

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y)=2x^2y ;-;3xy^3;+;7y^5
Estamos em cálculo de funções de duas variáveis, e o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x tratamos y como constante. Aplicando a regra do poder e a linearidade:
  • partialpartial x(2x^2y)=2ycdot 2x=4xy,
  • partialpartial x(-3xy^3)=-3y^3,
  • partialpartial x(7y^5)=0.
Logo,
partial fpartial x=4xy-3y^3

Passo 3

Para calcular partial fpartial y tratamos x como constante:
  • partialpartial y(2x^2y)=2x^2,
  • partialpartial y(-3xy^3)=-3xcdot 3y^2=-9xy^2,
  • partialpartial y(7y^5)=7cdot 5y^4=35y^4.
Portanto,
partial fpartial y=2x^2-9xy^2+35y^4

Resposta

O gradiente de f é
nabla f(x,y)=l(4xy-3y^3,;2x^2-9xy^2+35y^4r)

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