7 Mostre que as alturas de um triângulo equilátero são congruentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as alturas de um triângulo equilátero são congruentes. Em um triângulo equilátero todos os lados têm igual comprimento e a altura de um vértice é o segmento perpendicular ao lado oposto. Para resolver, vamos usar a fórmula da área de um triângulo em função de um lado (base) e de sua altura.
Passo 2
Denotamos equilátero com lados e definimos hA como a altura relativa ao lado BC. A área S do triângulo é dada por
S = tfrac12,BCcdot hA = tfrac12,a,hA
Passo 3
Analogamente, definindo hB como altura relativa a CA, temos
S = tfrac12,CAcdot hB = tfrac12,a,hB
Como a área é única,
tfrac12,a,hA = tfrac12,a,hB Longrightarrow hA = hB
Passo 4
Repetindo o mesmo raciocínio para a altura hC relativa a AB, obtemos
hA = hC
Portanto as três alturas são iguais.
Resposta
As alturas de um triângulo equilátero são todas congruentes.