Calcular as derivadas parciais de 1^ a ordem das funções a seguir.
f(x, y)=e^x^2 y+1y ln (x^2+2 y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=e^x^2y+1y,lnl(x^2+2y^2r)
O conteúdo envolve regra da cadeia para e^x^2y, e produto/quociente mais cadeia para tfrac1yln(cdot).

Passo 2

Cálculo de partial fpartial x.
Para o primeiro termo temos
partialpartial xl(e^x^2yr) =e^x^2ycdotpartialpartial x(x^2y) =e^x^2ycdot(2x,y) =2xy,e^x^2y
No segundo termo tfrac1y é constante em x, e
partialpartial xl(ln(x^2+2y^2)r) =1x^2+2y^2cdot 2x =2xx^2+2y^2
Logo
partial fpartial x =2xy,e^x^2y+1y,2xx^2+2y^2

Passo 3

Cálculo de partial fpartial y.
No primeiro termo aplicamos cadeia:
partialpartial yl(e^x^2yr) =e^x^2ycdotpartialpartial y(x^2y) =e^x^2ycdot x^2 =x^2e^x^2y
No segundo termo escrevemos como produto u(y),v(y) com u(y)=tfrac1y e v(y)=ln(x^2+2y^2). Então
u'(y)=-1y^2, v'(y)=1x^2+2y^2cdot4y =4yx^2+2y^2
Pela regra do produto,
partialpartial yl(tfrac1yln(x^2+2y^2)r) =u'(y),v(y)+u(y),v'(y) =-1y^2ln(x^2+2y^2) +1y,4yx^2+2y^2
Note que tfrac1ycdot4y=4. Portanto
partial fpartial y =x^2e^x^2y -1y^2ln(x^2+2y^2) +4x^2+2y^2

Resposta

partial fpartial x =2xy,e^x^2y +2xyl(x^2+2y^2r), partial fpartial y =x^2e^x^2y -1y^2lnl(x^2+2y^2r) +4x^2+2y^2

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