Em cada item, calcule as derivadas.
partialpartial y(y^4-2 x y z, x^2 cos (z), 3 x-2 y^2 z+(z+3 y)^5).

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação a y de uma função vetorial de três componentes:
l(y^4-2xyz,;x^2cos(z),;3x-2y^2z+(z+3y)^5r)
Para resolver vamos usar as regras de derivação parcial: ao derivar em y, tratamos x e z como constantes, aplicando a regra do poder, soma e, quando necessário, a regra da cadeia.

Passo 2

Derivada da primeira componente em relação a y:
partialpartial yl(y^4r)=4y^3, partialpartial yl(-2xyzr)=-2xz
Logo,
partialpartial yl(y^4-2xyzr)=4y^3-2xz

Passo 3

Derivada da segunda componente em relação a y:
partialpartial yl(x^2cos(z)r)=0,
pois não há dependência de y.

Passo 4

Derivada da terceira componente em relação a y:
partialpartial y(3x)=0, partialpartial y(-2y^2z)=-4yz,
e, pela regra da cadeia,
partialpartial yl((z+3y)^5r) =5(z+3y)^4cdotddy(z+3y) =5(z+3y)^4cdot3 =15(z+3y)^4
Assim,
partialpartial yl(3x-2y^2z+(z+3y)^5r) =-4yz+15(z+3y)^4

Resposta

partialpartial yl(y^4-2xyz,;x^2cos(z),;3x-2y^2z+(z+3y)^5r) =l(4y^3-2xz,;0,;-4yz+15(z+3y)^4r)

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