Em cada item, calcule a integral dupla.
integral duplaR 1+y^21+x^2 d A, R=[0,1] times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR 1+y^21+x^2,dA,
onde R=[0,1]times[0,1]. O conteúdo é cálculo de integrais duplas usando o Teorema de Fubini e a separabilidade do integrando.

Passo 2

Como
1+y^21+x^2=11+x^2;l(1+y^2r),
podemos usar Fubini para escrever
integral duplaR 1+y^21+x^2,dA =integral0^1!!integral0^111+x^2,(1+y^2),dy,dx =l(integral0^111+x^2,dxr);l(integral0^1(1+y^2),dyr)

Passo 3

Calculando a parte em x, temos
integral0^111+x^2,dx =l[arctan(x)r]0^1 =pi4

Passo 4

Calculando a parte em y, temos
integral0^1(1+y^2),dy =l[y + tfracy^33r]0^1 =1 + tfrac13 =tfrac43

Passo 5

Multiplicando os dois resultados, vem
integral duplaR1+y^21+x^2,dA =pi4times43 =pi3

Resposta

pi3

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