Uma esfera de raio r tem seu raio medido com uma régua cuja precisão é de até pm 0,05 cm. Sabendo que o volume de uma esfera é dado por
V=43 pi r^3
e que o raio medido foi de 10,00 cm, use diferenciais para:
a) Estimar o erro no volume De<a V causado pelo erro de medição do raio.
b) Estimar o erro percentual aproximado no volume.

Passo 1

O enunciado dá o volume de uma esfera
V = 43,pi,r^3
e diz que o raio foi medido como r=10,00,cm com erro de até pm0,05,cm. Vamos usar diferenciais para estimar a variação De<a V quando r varia em De<a r=pm0,05,cm e daí achar o erro percentual.

Passo 2

Calculamos a diferencial de V em função de r. Como
V(r)=43,pi,r^3,
aplicamos a regra de potência e obtemos
dVdr=4,pi,r^2
Logo, a variação aproximada do volume satisfaz
dV = dVdr,dr = 4,pi,r^2,dr

Passo 3

Agora substituímos r=10,cm e dr=pm0,05,cm:
dV = 4,pi,(10)^2,(0,05) =4,picdot100cdot0,05 =20,pi cm^3 approx62,8 cm^3
Portanto, o erro absoluto estimado no volume é
De<a V approx pm20,pi cm^3 approxpm62,8 cm^3

Passo 4

Para o erro percentual, dividimos De<a V por V e multiplicamos por 100%. Primeiro calculemos V em r=10 cm:
V(10)=43,pi,(10)^3 =43,picdot1000 =40003,pi cm^3
Logo o erro percentual aproximado é
De<a VVtimes100% =20,pitfrac40003,pitimes100% =20tfrac40003times100% =0,015times100% =1,5%

Resposta

(a) De<a Vapproxpm20,pi cm^3approxpm62,8 cm^3.
(b) erro percentual approx1,5%.

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