Em cada item, calcule a integral dupla.
(a)
integral duplaR x y^2 d A, em que R é a região limitada por x=0 e x=raiz1-y^2.
(b)
integral duplaR y^2 d A, em que R é a região triangular de vértices (0,1),(1,2) e (4,1).

Passo 1

O enunciado pede duas integrais duplas sobre regiões planas. O conteúdo aqui é montar integrais iteradas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar:
– Descrever cada região R e obter os limites de integração.
– Integrar primeiro em x ou em y conforme conveniente.
– Calcular as integrais usando antiderivadas e, para (a), usar simetria de função par.

Passo 2

Para (a), a região R é limitada por x=0 e pela curva x=raiz1-y^2. Isto é o semicírculo de raio 1 à direita do eixo y, com y variando de -1 a 1. Logo podemos escrever
integral duplaR x,y^2,dA =integraly=-1^1!integralx=0^raiz1-y^2 x,y^2,dx,dy

Passo 3

Calculando a integral interna em x:
integral0^raiz1-y^2 x,y^2,dx =y^2,x^22|0^raiz1-y^2 =y^22,(1-y^2)
Logo
integral duplaR x,y^2,dA =12integral-1^1l(y^2-y^4r),dy
Como y^2-y^4 é função par,
12integral-1^1(y^2-y^4),dy =integral0^1(y^2-y^4),dy =l[y^33-y^55r]0^1 =13-15 =215

Passo 4

Para (b), R é o triângulo com vértices (0,1), (1,2) e (4,1). As arestas de base estão em y=1 de x=0 a x=4, e o vértice superior em (1,2). Para um y fixo entre 1 e 2, o x varia entre a reta que passa por (0,1) e (1,2), que é x=y-1, e a reta que passa por (4,1) e (1,2), que é x=7-3y. Assim
integral duplaR y^2,dA =integraly=1^2!integralx=y-1^,7-3y y^2,dx,dy

Passo 5

Calculando a integral interna em x:
integraly-1^7-3y y^2,dx =y^2l[(7-3y)-(y-1)r] =y^2(8-4y)
Então
integral duplaR y^2,dA =integral1^2(8y^2-4y^3),dy =l[8y^33-y^4r]1^2 =l(643-16r)-l(83-1r) =163-53 =113

Resposta

(a) 215
(b) 113

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