Em cada item, calcule a integral dupla.
(a) , em que é a região limitada por e .
(b) , em que é a região triangular de vértices e .
Passo 1
O enunciado pede duas integrais duplas sobre regiões planas. O conteúdo aqui é montar integrais iteradas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar:
– Descrever cada região e obter os limites de integração.
– Integrar primeiro em ou em conforme conveniente.
– Calcular as integrais usando antiderivadas e, para (a), usar simetria de função par.
Passo 2
Para (a), a região é limitada por e pela curva . Isto é o semicírculo de raio 1 à direita do eixo , com variando de a . Logo podemos escrever
Passo 3
Calculando a integral interna em :
Logo
integral duplaR x,y^2,dA =12integral-1^1l(y^2-y^4r),dy
Para (b), R é o triângulo com vértices (0,1), (1,2) e (4,1). As arestas de base estão em y=1 de x=0 a x=4, e o vértice superior em (1,2). Para um y fixo entre 1 e 2, o x varia entre a reta que passa por (0,1) e (1,2), que é x=y-1, e a reta que passa por (4,1) e (1,2), que é x=7-3y. Assim
integral duplaR y^2,dA =integraly=1^2!integralx=y-1^,7-3y y^2,dx,dy