Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 43 n-2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+143n-2
é convergente ou divergente. Aqui vamos usar o Critério de Leibniz para séries alternadas, que exige três condições sobre os termos positivos
bn=43n-2:
  1. bn>0 para todo n.
  2. bn é decrescente.
  3. limntoinftybn=0.

Passo 2

Definimos
bn = 43n-2
Como 3n-2 cresce com n, cada bn é positivo e, para n>=1, temos
3(n+1)-2 = 3n+1 > 3n-2 Longrightarrow bn+1 = 43n+1 < 43n-2 = bn
Logo, bn é decrescente.

Passo 3

Calculamos o limite dos termos gerais:
limntoinftybn = limntoinfty43n-2 = 0

Passo 4

Como bn>0, bn decresce e limntoinftybn=0, o Critério de Leibniz garante que
sumn=1^infty(-1)^n+1bn
é convergente.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, considere
sumn=1^infty |(-1)^n+1bn| = sumn=1^infty 43n-2
Como 13n-2 é comparável a 1n (série harmônica), a soma diverge. Portanto, a convergência não é absoluta, mas sim condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Critério de Leibniz, mas diverge em módulo).

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