Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada
é convergente ou divergente. Aqui vamos usar o Critério de Leibniz para séries alternadas, que exige três condições sobre os termos positivos
:
-
para todo . -
é decrescente. -
.
Passo 2
Definimos
Como
cresce com
, cada
é positivo e, para
, temos
Logo,
é decrescente.
Passo 3
Calculamos o limite dos termos gerais:
Passo 4
Como
,
decresce e
, o Critério de Leibniz garante que
é convergente.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, considere
Como
é comparável a
(série harmônica), a soma diverge. Portanto, a convergência não é absoluta, mas sim condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo Critério de Leibniz, mas diverge em módulo).