Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 sen pin

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1sin!l(tfracpinr)
O conteúdo principal é o Critério de Leibniz para séries alternadas, que exige analisar (i) o limite dos termos e (ii) a monotonia eventual de an=sin(pi/n).

Passo 2

O Critério de Leibniz afirma que a série
sumn=1^infty(-1)^n+1an
converge se
  1. an>=0 para todo n,
  2. an+1<= an a partir de algum n,
  3. limntoinftyan=0.
    Aqui an=sin!l(tfracpinr), que é não negativa para todo n.

Passo 3

Calculamos o limite dos termos:
limntoinftysin!l(tfracpinr) =sin!l(limntoinftytfracpinr) =sin(0)=0
Logo, a condição (3) do Critério de Leibniz está satisfeita.

Passo 4

Para ver a monotonia de an, note que a função
f(x)=sin!l(tfracpixr)
é decrescente em x>=2 porque tfracpix decresce e sin é crescente em [0,pi]. Assim, an+1<= an para todo n>=2. A monotonia eventual (a partir de n=2) satisfaz a condição (2).

Passo 5

Como an>=0, an é decrescente para n>=2 e limntoinftyan=0, a série alternada converge por Leibniz.

Passo 6

Para verificar convergência absoluta, note que para n grande
sin!l(tfracpinr)sim tfracpin,
então sum|sin(pi/n)| comporta-se como sumpin, que diverge (série harmônica). Logo, a convergência não é absoluta.

Resposta

A série é convergente, mas não absolutamente (convergência condicional).

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