Determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série alternada
O conteúdo principal é o Critério de Leibniz para séries alternadas, que exige analisar (i) o limite dos termos e (ii) a monotonia eventual de
.
Passo 2
O Critério de Leibniz afirma que a série
converge se
-
para todo , -
a partir de algum , -
.
Aqui, que é não negativa para todo .
Passo 3
Calculamos o limite dos termos:
Logo, a condição (3) do Critério de Leibniz está satisfeita.
Passo 4
Para ver a monotonia de
, note que a função
é decrescente em
porque
decresce e
é crescente em
. Assim,
para todo
. A monotonia eventual (a partir de
) satisfaz a condição (2).
Passo 5
Como
,
é decrescente para
e
, a série alternada converge por Leibniz.
Passo 6
Para verificar convergência absoluta, note que para
grande
então
comporta-se como
, que diverge (série harmônica). Logo, a convergência não é absoluta.
Resposta
A série é convergente, mas não absolutamente (convergência condicional).