Em cada item, calcule a integral dupla. Sugestão. Procure alguma mudança de variáveis adequada.
integral duplaR(3 x-2 y) d A, em que R é o paralelogramo de vértices (0,1),(1,4),(5,2) e (6,5).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(3x - 2y),dA
onde R é o paralelogramo com vértices (0,1), (1,4), (5,2) e (6,5).
O conteúdo principal é o uso de mudança de variáveis (uma transformação linear) para levar R em um quadrado canônico, facilitando o cálculo.

Passo 2

Escolhemos como ponto-base o vértice (0,1) e dois vetores que geram o paralelogramo:
vec u=(1,4)-(0,1)=(1,3), vec v=(5,2)-(0,1)=(5,1)
Definimos a transformação
(x,y) = (0,1) + s,(1,3) + t,(5,1),
com (s,t)in[0,1]times[0,1].

Passo 3

Escrevendo coordenadas em função de s,t:
x = s + 5t, y = 1 + 3s + t
O jacobiano da transformação é
J = det partial xpartial s & partial xpartial t partial ypartial s & partial ypartial t = det 1 & 5 3 & 1 =1cdot1 - 5cdot3 = -14,
logo lvert Jrvert=14 e dA = 14,ds,dt.

Passo 4

Expressão do integrando em s,t:
3x - 2y =3(s+5t) ;-;2l(1+3s+tr) =3s+15t -2 -6s -2t =-3s +13t -2

Passo 5

A integral vira
integral duplaR(3x-2y),dA = integral0^1!!integral0^1 l(-3s+13t -2r),14,ds,dt =14 integral0^1!!integral0^1(-3s+13t-2),ds,dt

Passo 6

Integramos primeiro em s:
integral0^1(-3s+13t-2),ds =l[-tfrac32s^2 -2s +13t,sr]0^1 =-tfrac32-2+13t =-tfrac72 +13t
Agora em t:
14 integral0^1l(-tfrac72+13tr),dt =14l[-tfrac72t+tfrac132t^2r]0^1 =14l(-tfrac72+tfrac132r) =14cdottfrac62 =14cdot3 =42

Resposta

O valor da integral é 42.

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