Q 1. Falso ou Verdadeiro? Justifique:
se an>0 forall n in N e sumn=1^infty an é convergente, então sumn=1^infty raizan an+1 é convergente,
(Dica: 2 raiza b<a+b se a>0, b>0.)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^inftyraizanan+1
é convergente, sabendo que an>0 e que
sumn=1^inftyan
é convergente. O conteúdo é teste da comparação para séries de termos positivos e vamos usar a desigualdade AM–GM:
2raizab<= a+bpara a,b>0

Passo 2

Aplicando AM–GM aos termos an e an+1 obtemos
2raizanan+1<= an+an+1,
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raizanan+1<= an+an+12

Passo 3

Somando essa desigualdade de n=1 até N
sumn=1^Nraizanan+1 <= 12sumn=1^Nl(an+an+1r) =12l(sumn=1^Nan+sumn=1^Nan+1r)
Note que
sumn=1^Nan+1 =sumk=2^N+1ak =l(sumk=1^Nakr)-a1+aN+1
Portanto
sumn=1^Nraizanan+1 <= 12l(2sumn=1^Nan-a1+aN+1r) =sumn=1^Nan-a12+aN+12

Passo 4

Como sumn=1^inftyan converge e aN+1to0, o lado direito tende a
sumn=1^inftyan-a12<infty
Pelo teste da comparação, segue que
sumn=1^inftyraizanan+1
é convergente.

Resposta

Verdadeiro.

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