Em cada item, calcule integral duplaD f(x, y) d A.
f(x, y)=x cos (y); D é limitada por y=0, y=x^2, x=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x cos(y) sobre a região D limitada por y=0, y=x² e x=1. O conteúdo é integral dupla em regiões tipo I, e vamos precisar usar integrais iteradas, além de integração por substituição.

Passo 2

Como D é do tipo I em x, podemos escrever 0≤x≤1 e, para cada x, 0≤y≤x². Então a integral fica
integral duplaDxcos(y),dA=integralx=0^1integraly=0^x^2xcos(y),dy,dx

Passo 3

Agora integramos em y, tratando x como constante. Usamos integralcos(y),dy=sin(y). Assim,
integraly=0^x^2xcos(y),dy=xl[sin(y)r]0^x^2=xsin(x^2)

Passo 4

A integral reduz-se a
integral0^1xsin(x^2),dx
Para resolver, fazemos a substituição u=x^2, du=2x,dx, ou seja, x,dx=tfrac12du.

Passo 5

Aplicando a substituição com limites em u de 0 a 1, obtemos
integral0^1xsin(x^2),dx=12integral0^1sin(u),du=12l[-cos(u)r]0^1=12(1-cos1)

Resposta

dfrac1-cos12

Exercícios relacionados