Determine e esboce o domínio de cada função real de duas variáveis:
f(x, y)=1raiz(x-1)(y-2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função de duas variáveis real f(x,y)=dfrac1raiz(x-1)(y-2). O conteúdo aqui é domínio de funções de várias variáveis, e vamos precisar garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja positivo (já que está no denominador).

Passo 2

Para que a raiz quadrada exista em números reais e não zere o denominador, precisamos ter
(x-1)(y-2)>0

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade de produto: (x-1)(y-2)>0 ocorre quando os dois fatores têm o mesmo sinal. Ou seja:
  • Caso 1: x-1>0 e y-2>0 x>1 e y>2.
  • Caso 2: x-1<0 e y-2<0 x<1 e y<2.

Passo 4

Concluímos que o domínio é a união dessas duas regiões abertas no plano:
D=(x,y)mid x>1,,y>2,cup,(x,y)mid x<1,,y<2

Passo 5

Para esboçar, trace as retas x=1 e y=2; então sombreie a região ao nordeste de (1,2) (onde x>1, y>2) e a região ao sudoeste de (1,2) (onde x<1, y<2). Em ambas não se inclui as retas.

Resposta

O domínio é
D=(x,y)inR^2mid x>1,,y>2,cup,(x,y)inR^2mid x<1,,y<2

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