Em cada item, calcule a integral.
\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} dx$.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 raiz4 - x^2,dx
Este é um caso clássico de integral envolvendo raiz quadrada de soma de quadrados. Vamos usar a substituição trigonométrica x = 2sintheta para transformar a integral num integral de funções trigonométricas.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 2sintheta, dx = 2costheta,dtheta, raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta
Quando x=0, temos theta=0; quando x=2, temos theta=tfracpi2. Portanto
integral0^2 raiz4 - x^2,dx = integral0^pi/2 (2costheta),(2costheta,dtheta) = 4integral0^pi/2 cos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
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4integral0^pi/2 cos^2theta,dtheta = 4integral0^pi/2 1 + cos(2theta)2,dtheta = 2integral0^pi/2 l(1 + cos(2theta)r),dtheta

Passo 4

Calculando
2integral0^pi/2 l(1 + cos(2theta)r),dtheta = 2l[theta + tfrac12sin(2theta)r]0^pi/2 = 2l(tfracpi2 + 0 - 0r) = pi
Portanto a integral original vale pi.

Resposta

pi

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