Resolva
lim x 0 tg(x)-sen(x)x^3

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0tan(x)-sin(x)x^3
O conteúdo que vamos usar é a expansão de Taylor (Maclaurin) até a ordem x^3 para sin(x) e tan(x).

Passo 2

Recordando a série de Taylor de sin(x) em torno de 0 até a ordem x^3, temos
sin(x)=x-x^36+O(x^5)

Passo 3

Recordando a série de Taylor de tan(x) em torno de 0 até a ordem x^3, obtemos
tan(x)=x+x^33+O(x^5)

Passo 4

Subtraindo as duas expansões:
tan(x)-sin(x) =l(x+x^33+O(x^5)r)-l(x-x^36+O(x^5)r) =x^33+x^36+O(x^5) =x^32+O(x^5)

Passo 5

Dividindo por x^3 e passando ao limite:
tan(x)-sin(x)x^3 =tfracx^32+O(x^5)x^3 =12+O(x^2) Longrightarrow limxto0tan(x)-sin(x)x^3=12

Resposta

12

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