Em cada item, calcule a integral.
integral0^pi2(cos (2 y)-cos (3 y)2-cos y2) d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = integral0^pi2l(cos(2y)-tfrac12cos(3y)-tfrac12cos(y)r),dy
O conteúdo aqui é integral de funções trigonométricas e vamos usar a antiderivada padrão
integral cos(k y),dy = 1k,sin(k y)

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar os termos:
I = integral0^pi2cos(2y),dy ;-;tfrac12integral0^pi2cos(3y),dy ;-;tfrac12integral0^pi2cos(y),dy

Passo 3

Calculamos as antiderivadas de cada termo:
integral cos(2y),dy = tfrac12sin(2y), integral cos(3y),dy = tfrac13sin(3y), integral cos(y),dy = sin(y)
Logo uma primitiva para todo o integrando é
F(y) = tfrac12sin(2y);-;tfrac12cdottfrac13sin(3y);-;tfrac12sin(y) =tfrac12sin(2y)-tfrac16sin(3y)-tfrac12sin(y)

Passo 4

Avaliaremos F(y) de 0 a tfracpi2:
em y=tfracpi2:
sin(2cdottfracpi2)=sin(pi)=0, sin(3cdottfracpi2)=sin(tfrac3pi2)=-1, sin(tfracpi2)=1,
portanto
Fl(tfracpi2r) = tfrac12cdot0 ;-;tfrac16cdot(-1);-;tfrac12cdot1 = tfrac16-tfrac12 = -tfrac13
Em y=0 todas as funções seno valem zero, então F(0)=0. Assim
I = Fl(tfracpi2r)-F(0) = -tfrac13-0 = -tfrac13

Resposta

-13

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