Em cada item, determine se vecF é ou não um campo vetorial conservativo. Se sim, determine um campo escalar f tal que vecF=nabla f.
F(x, y)=(3+2 x y^2, 2 x^2 y).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) = l(3 + 2xy^2,;2x^2yr)
e pede para verificar se F é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que F = nabla f. Vamos usar o critério das derivadas parciais mistas num domínio simplesmente conexo (aqui R^2).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais mistas:
partial Ppartial y = partialpartial yl(3 + 2xy^2r) = 4xy,
partial Qpartial x = partialpartial xl(2x^2yr) = 4xy
Como partial P/partial y = partial Q/partial x em todo R^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) = integrall(3 + 2xy^2r),dx = 3x + x^2y^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos f em relação a y e igualamos a Q:
partial fpartial y = 2x^2y + h'(y) stackrel!= 2x^2y
Isso implica h'(y)=0, logo h(y)=C (constante).

Resposta

F é conservativo e uma função potencial é
f(x,y) = 3x + x^2y^2 + C

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