Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método de variação de parâmetros:
y^prime prime prime+y^prime=tg x, 0<x<pi2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de terceira ordem
y''' + y' = tan x, 0<x<pi2,
usando o método de variação de parâmetros. Para isso, vamos precisar (i) encontrar a solução geral da homogênea associada e (ii) construir uma particular via funções ui(x) aplicando as condições do método.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y''' + y' = 0
A equação característica é
r^3 + r = r,(r^2 + 1) = 0,
cujas raízes são r=0, r=i e r=-i. Logo um conjunto fundamental de soluções é
y1=1, y2=cos x, y3=sin x

Passo 3

Pelo método de variação de parâmetros, assumimos a solução particular da forma
yp = u1(x),y1 + u2(x),y2 + u3(x),y3 = u1 + u2cos x + u3sin x,
com as condições
u1' + u2'cos x + u3'sin x = 0, 0cdot u1' - u2'sin x + u3'cos x = 0, 0cdot u1' - u2'cos x - u3'sin x = tan x

Passo 4

Da segunda equação vem
-u2'sin x + u3'cos x = 0 ;implies; u3' = u2',tan x
Substituindo em
-,u2'cos x - u3'sin x = tan x
obtém-se
-,u2'cos x - u2'tan x,sin x = -u2',1cos x = tan x,
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u2' = -sin x, u3' = -sin x;tan x = -sin^2 xcos x
Da primeira condição
u1' = -,u2'cos x - u3'sin x = sin xcos x + sin^3 xcos x = sin x(cos^2 x + sin^2 x)cos x = tan x

Passo 5

Integramos cada derivada:
u1 = integral tan x,dx = -ln(cos x), u2 = integral -sin x,dx = cos x,
u3 = integral -sin^2 xcos x,dx = -integrall(sec x - cos xr),dx = -lnl(sec x + tan xr) + sin x

Passo 6

Substituindo em yp = u1 + u2cos x + u3sin x:
yp = -ln(cos x) + cos^2 x + l(-ln(sec x + tan x)+sin xr)sin x
Como cos^2 x+sin^2 x=1, e desprezando a constante “1” (que já está na homogênea), podemos usar
yp = -ln(cos x);-;sin x,lnl(sec x + tan xr)

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 + C2cos x + C3sin x ;-;ln(cos x);-;sin x,lnl(sec x + tan xr),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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