Em cada item, determine se vecF é ou não um campo vetorial conservativo. Se sim, determine um campo escalar f tal que vecF=nabla f.
F(x, y, z)=(x^2 y z, x+y-z, z^2-y^2).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em R^3
vec F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) =l(x^2yz,;x+y-z,;z^2-y^2r)
e pede para verificar se vec F é conservativo. Em regiões simplesmente conexas de R^3, um campo é conservativo se, e só se, seu rotor ( nablatimesvec F) for o vetor nulo.

Passo 2

Calculamos as componentes do rotor
nablatimesvec F =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Agora cada termo:
partial Rpartial y =partialpartial y(z^2 - y^2) =-2y, partial Qpartial z =partialpartial z(x + y - z) =-1
Logo a primeira componente é
partial Rpartial y-partial Qpartial z =(-2y)-(-1)=1-2yneq 0em >=ral

Passo 3

Como a primeira componente de nablatimesvec F não é identicamente zero, temos nablatimesvec Fneqvec0. Logo vec F não é um campo conservativo.

Resposta

vec F não é conservativo.

Exercícios relacionados